フロベニウス群2　証明

証明に使う概念の定義をしていきます

表現と既約表現

群 G から(ここでは \mathbb{C} )線形空間 V 上の一般線形群 GL(V) への群準同型写像 \rho があるとき組 (V, \rho) を群 G の表現という

また, V の部分空間 W が \rho (g)W\subseteq W, (g\in G)を満たす時 W は不変部分空間であるといい, \{0\}, V 以外に不変部分空間が存在しない時, 表現は既約であるという

指標と既約指標

(V, \rho) を有限群 G の有限次元表現( V が有限次元である表現)とする.次で定まる G 上の関数 \chi_V を表現 V の指標という

  • \chi_V(g)=\text{tr}(\rho(g)), (g\in G)

また, 既約表現の指標を既約指標という

類関数

群 G 上の \mathbb{C} 値関数 \phi は次を満たすとき類関数という

  • \begin{align} \phi (hgh^{-1})=\phi(g) \end{align}, (g, h\in G)

 

指標はトレースの巡回性から類関数です

類関数の空間

G 上の類関数全体のなす空間を \mathscr{C}(G) で表し, この空間の内積を次で定める

  • \begin{align}(\phi, \psi)_G=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\phi(g)\overline{\psi(g)}\end{align}, (\phi, \psi\in \mathscr{C}(G))

 

証明に用いる次の事実を認めることにします, 気になる方は参考の本を見て頂くとよいでしょう

定理1

既約指標の全体は \mathscr{C}(G) の正規直交基底を成す

 

次の定理は各元の位数が有限であること(と従って最小多項式が重解を持たず \rho(g) が対角化可能であること)からわかります

定理2

(V, \rho) を G の表現, \chi をその指標とする. |\chi(s)|\leq \chi(1) であり, \chi(s)=\chi(1) と \rho(s)=\rho(1) は同値である

誘導関数

群 G の部分群 H 上の類関数 \psi に対し, 次で定義される G 上の類関数を \psi の G における誘導関数と呼ぶ

  • \begin{align}\psi^G(s)=\frac{1}{|H|}\sum_{t\in G}\psi(tst^{-1})\end{align}, (ただし \psi(t)=0, (t\in H))
 
類関数になることは明らかです
H の元による共役上では類関数の性質から等しい値を取るので代表元を取れば和はその範囲から取ることができ, その場合同じ値が |H| 個出ます(上の和で \psi(tst^{-1})=\psi(htst^{-1}h^{-1}) つまりt, ht で値が等しい), すなわち t_p たちを剰余の代表系とすれば
\begin{align}\psi^G(s)=\sum_p \psi (t_pst_p^{-1})\end{align}

一見天下り的な拡張(？)です

フロベニウス群に対し次が成り立ちます

補題

H 上の類関数 \phi について次が成り立つ
1) t\in H\backslash \{1\} に対し, \phi^G(t)=\phi(t)
2) x\in N\backslash \{1\} に対し, \phi^G(x)=0
3) \phi(1)=0 なら, (\phi^G, \phi^G)=(\phi, \phi) 
 
<証明> 1) t\in H\backslash \{1\} とする. 前の記事フロベニウス群1 - 数学SDGsブログの(F1) から s\notin H に対し sts^{-1}\notin H だから
\begin{align}\phi^G(t)=\frac{1}{|H|}\sum_{s\in G}\phi(sts^{-1})=\frac{1}{|H|}\sum_{s\in G}\phi(sts^{-1})=\phi(t)\end{align}
2) x\in N\backslash \{1\} とする. x は H の元と共役でないから \phi^G(x)=0
3) \phi(1)=0 なら \phi(1)=0 . N 上では 0 だから H の共役だけ考えればよく sHs^{-1} の元 t'=sts^{-1}\neq 1 (t\in H) に対しては ut'u^{-1}\in H となる u は Hs^{-1} の元に限る. 
\begin{align} \phi^G(t') =\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}\phi (hs^{-1}(sts^{-1})sh^{-1})=\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}\phi (hth^{-1})=\phi(t) \end{align}
以上を用いて内積を計算すると
\begin{align} (\phi^G, \phi^G) & =  \frac{1}{|G|}\sum_{x\in G}\overline{\phi^G(x)}\phi^G(x^{-1})=\frac{1}{|G|}\sum_{t\in H}n\overline{\phi(t)}\phi(t^{-1})\\ & = \frac{1}{|H|}\sum_{t\in H}\overline{\phi(t)}\phi(t^{-1})=(\phi, \phi)\end{align}
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次のフロベニウスの相互律を認めることにします

フロベニウスの相互律

\phi\in \mathscr{C}(H), \psi\in \mathscr{C}(G) に対して次が成立する

  • (\phi^G, \psi)=(\phi, \psi|_H), (\psi|_Hは H への制限)
 
では本題の証明をしましょう
<フロベニウス群1 - 数学SDGsブログの定理の証明> \psi_1(=\psi_*), \psi_2, ..., \psi_k (\psi_* は単位指標, すなわち恒等的に 1 である指標)を H の既約指標の全体とし, 
\begin{align}\phi_i=\psi_i-\psi_i(1)\psi_*\end{align} , (i=2, 3, ..., k) 
と置く. これは既約指標の整数係数一次結合である. G の単位指標を \chi_* とすれば, フロベニウスの相互律により
\begin{align} (\phi_i^G, \chi_*)=(\phi_i, \psi_*)=(\psi_i, \psi_*)-\psi_i(1)=-\psi_i(1) \end{align}
よって
\begin{align} \omega_i=\phi_i^G+\psi_i(1)\chi_*\end{align}
と置くと \omega_i は (\omega_i, \chi_*)=0 を満たし既約指標の整数係数一次結合である. \phi_i(1)=0 だから上の補題 3) を適用して
\begin{align} (\omega_i, \omega_i)+\psi_i(1)^2=(\phi_i^G, \phi_i^G)=(\phi_i, \phi_i)=(\psi_i, \psi_i)+\psi_i(1)^2\end{align}
よって (\omega_i, \omega_i)=(\psi_i, \psi_i)=1 で \pm \omega_i は既約指標の整数係数一次結合だったから定理1から一方は既約指標である. \phi_i, \omega_i の定義から
\begin{align} \omega_i(t)-\psi_i(1)=\psi_i(t)-\psi_i(1)\end{align}, (t\in H)
すなわち \omega_i|_H=\psi_i を得る. 従って \omega_2, \omega_3, ..., \omega_k は相異なる指標である. 補題 2) から, x\in N について \phi_i^G(x)=0 だから, \omega_i の定義から
\begin{align} \omega_i(x)=\psi_i(1)=\omega_i(1)\end{align}, (x\in N)
今, \omega_i を指標とする G の表現を \rho_i とすれば, 定理2から \rho_i(x)=\rho_i(1) となる. よって
\begin{align} M=\{y\in G | \rho_i(y)=\rho_i(1)\}\end{align}
とおけば, これは正規部分群で N を含む. M\neq N とすると, M が正規部分群で G\backslash N が H\backslash \{1\} の共役の和集合であることから, M は H\backslash \{1\} の元 t を含む. この t については \psi_i(t)=\omega_i(t)=\omega_i(1)=\psi_i(1) であり, H の全ての既約表現で単位行列に写される. これは t\neq 1 については成り立たないはずである. 実際, 例えば対称群に埋め込んで対称群の置換表現(標準底の並べ替えで作用するもの)と合成することで忠実な表現が得られる. よって M=N であり N は正規部分群をなす.
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参考